Geometría Natural

Las espirales siempre han sido objeto de curiosidad y estudio. Su aparición como objetos geométricos es tan antigua como nuestras capacidades de representación. De hecho -como veremos más adelante,-, es aún más antigua….

Como por ahora nuestro tema son los fractales, nos concentramos en dos espirales que son ampliamente conocidas y usadas por artistas y arquitectos.

La espiral dorada se genera a partir de la “proporción áurea” :

La espiral Dorada https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_spiral 

Es una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento es

Citaré al  artículo de Wikipedia :https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio 

Esta relación define la proporción entre dos números cuya suma es proporcional al mayor de ellos de la misma manera que el mayor es al menor. es una solución de la ecuación x2-x=0

 La espiral se ensancha cada cuarto de vuelta por un factor de φ 

La espiral de Fibonacci, se genera a partir de la serie de Fibonacci: https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

0 1 1 2 3 5 8 13 21..

El artículo de wikipedia contiene descripciones y enlaces fascinantes acerca de la historia de esta serie que -naturalmente- comienza en la India. 

[describir el art’iculo de prosodia sobre Pingala]

Por mor de tiempo nos concentramos en occidente; 

Leonardo de Pisa, conocido como  Fibonacci. En su libro  Liber Abaci Publicado en 1202, Introdujo la secuencia a las matemáticas de Europa occidental.  La serie : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. Se forma sumando los dos elementos previos a cada elemento. La construcción de la espiral de Fibonacci se puede ver en los diagramas 1 y 2.

La instanciación de la espiral en formas naturales la podemos apreciar en las fotos de las plantas de sábila, de brócoli y en la concha del nautilo.  La observación de periodicidades en las formas de la naturaleza es muy antigua y se ha dado en prácticamente todas las culturas.

El estudio matemático de las formas -en occidente-, es bastante más moderno. Se puede argumentar -con cierta razón- que Pitágoras y Arquímedes  comenzaron tales estudios, pero en lo que toca a la matemática moderna,  fue Descartes y después Jacob Bernoulli quienes iniciaron los estudios formales sobre las formas espirales. Este último hizo la observación de que la “espiral dorada” exhibía la propiedad de auto-similaridad, es decir, en cada cuarto de vuelta de la espiral, la curvatura es idéntica y el crecimiento es proporcional. Esta propiedad de la espiral fue lo que hizo que  Bernoulli diera a la espiral dorada el nombre de “Spira Mirabilis”. 

En relación a la biología, D’Arcy Thompson describe las espirales de los cuernos de rumiantes así como las conchas  de moluscos como espirales logarítmicas y, describe la filotaxis y su relación con la serie de fibonacci.  https://en.wikipedia.org/wiki/Phyllotaxis La palabra filotaxis denota “un arreglo de las hojas en torno a un tallo”

En este punto es que las arborescencias y las espirales se unen en tres dimensiones…

https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_spiral

 https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_spirals

https://en.wikipedia.org/wiki/Patterns_in_nature

Señor Covarrubias, -interpelo el presidente del consejo-,  Me encuentro en una situación un poco extraña; antes de conectarnos a la conversación con el Señor Juárez, no había entendido la mitad de todas las cosas que usted me dijo.  Después de escuchar al señor Juárez,  ya las entiendo, pero ahora no entiendo la mitad de todo lo que el señor Juárez está diciendo!!…

Ah! Vamos por buen camino respondió el Arquitecto Covarrubias… 

Ahora que yo voy a continuar, se que entenderá cuando menos la mitad de lo que yo le diga además de lo que el señor Juárez dijo.  

pero por lo pronto, aprovechando que ya me entendió lo que le dije antes de ir a ver la conversación, lo voy a platicar de como acomodaremos a 1024 personas en una estructura arborescente…

Entre las 1024 personas, habrá solter@s o familias de múltiples composiciones y extensiones…

Con un poco de ingenuidad y perspicacia, el diseño urbano se escribe solo!. 

A partir de cierto nivel de “profundidad” en el árbol, se distribuyen las “unidades habitacionales” en función de su composición.  Se asume que habrá migraciones, además de decesos y nuevas adiciones y, -por supuesto-, vacaciones….

Por mor de eficiencia, sigamos nuestra conversación hasta que ya no entienda la mitad de lo que le digo. 

Parece ser que el método de volver a lo que Ruben Juarez está explicando, funciona bien cuando llegamos al punto en que usted ya comienza a no entenderme…

Si señor!. 

Como le iba diciendo; para definir la ubicación de un@s nuev@s habitante(s),  entenderemos al grupo que lo habitará, como función de la demografía local. 

Consideremos como ejemplo a una familia de 5 a partir de la pareja que los origina. Esto quiere decir: progenitores más tres vástagos.  En el diseño que le presento, hay dos maneras de acomodarlos:  una es simplemente reservar un número de ramas exteriores para acomodarlos, la otra es usar también los nodos inmediatamente anteriores a las ramas. Esos detalles se pueden incluso decidir caso por caso…Comencemos por el diseño más simple, es decir; en el que a cada persona se le asigna una de las ramas exteriores del árbol que – después de todo-, tiene el número de ramas exacto para las 1024 personas y, si contamos los nacimientos y decesos a lo largo del tiempo, siempre puede haber ajustes. 

Siendo las ramas terminales iguales en cuanto al grosor, podemos a;adir esrtructuras flexibles que extiendan su funcionalidad Por ejemplo, para una familia de 6 personas, se pueden distribuir seis de las ramas terminales hacia una unidad habitable de la forma que se desee.

Ahora que hemos visto la lectura del señor Juárez, podemos entender lo que son los homeomorfismos y como podemos aplicar tal concepto: Comencemos por recordar que los isomorfismos entre las ecuaciones que definen a los fractales son “similaridades” algebraicas…

“Creo que eso ya lo tengo claro” exclamó el presidente…Muy bien -dijo el Arquitecto-, ahora debemos de explicar que los homeomorfismos, se refieren a similaridades “Topológicas…”

“Topo what?!!!” exclamó el presidente con tono ligeramente exasperado…

¿Qué le parecen las donas que nos estamos comiendo con el café?

Están deliciosas, me gustan más que las de “Krispy-Kreme”, ¡pero no me cambie la conversación!

No la estoy cambiando, -respondió el Arquitecto al tiempo que sacaba de la bolsa interior de su saco una dona de plastilina a la que transformó en una taza de la manera siguiente:

–

Como puede ver, el agujero de la dona es ahora el asa de la taza y, el cuenco de la taza se forma sin crear agujeros nuevos!. Es decir, cada punto en la plastilina sigue guardando la misma relación con sus puntos vecinos! La taza y la dona son homeomorfas porque la deformación elástica que hace que una se convierta en la otra, preserva intactas todas las relaciones. 

La topología es una geometría en la que las relaciones entre puntos son más importantes que su posición en un sistema de coordenadas.

Creo que ya comprendo lo que me trataba de explicar antes acerca de las unidades homeomórficas…

Si! Interpela el Arquitecto al mismo tiempo que resume la perorata del capítulo anterior…

La familia de Rapunzel insistió en una serie de torres cilíndricas mientras que los Buckminster-Fuller ‘s querían domos geodésicos. El profesor Juárez, quiso un grupo de unidades no muy diferentes a la mezquita de Santa Sofía…el módulo central, tiene un domo con las proporciones exactas y junto con las paredes, proporciona el espacio apropiado para sesiones de multimedia simplemente espectaculares. 

Los minaretes, contienen laboratorios para diversos fines. En uno de ellos se estudia la “Temptónica” (Ciencia de las tentaciones), en otro -conectado al primero por galerías subterráneas-, se estudia la “Ferolingüística” (algo relacionado con comunicación y Feromonas…)… de lo que pasa en los otros dos minaretes, solamente le puedo decir lo que podrá leer en el apéndice 9 del libro que Ruben y yo estamos escribiendo del cual le traje una copia a regalar….

Un momento señor!. Me está usted tomando el pelo? 

Como que lo están escribiendo y ya me está entregando una copia ya terminada?

Er… Permítame explicar… todo esto es a causa de MITO… 

¿Qué es eso? !!

Ah, MITO es un acrónimo del Módulo Individual de Transporte Orgánico…

Antes de explicar qué es MITO y como tiene relevancia a mi situación actual, puede ser bueno ver un poco más de la lectura del profesor Juárez…

Lo que encuentro un poco extraño es que en la lectura que está teniendo lugar en 2020, aparezco en la sesión de “Zoom” aun cuando yo estoy aquí con usted en el año 2086?.

Ah, en uno de los otros minaretes de la mansión se hacen experimentos con el tiempo,

pero esa es otra historia…

Autosimilaridad estadística y dimensión fraccional. 

Este fue el título de un papel de Bennoit Mandelbrot en el que introdujo por primera vez la idea de “Fractal” en 1967. El término lo inventó en 1975.

Una paradoja curiosa es que la respuesta depende de la longitud de la medida usada; si usamos una “vara” de 200 kilómetros de longitud, la costa mide 2400 kilómetros. Si usamos una vara de 50 kilómetros, la longitud será  de 3400 y así sucesivamente… Las siguientes imágenes ilustran la idea…

En este trabajo, Mandelbrot hace énfasis en que medir la longitud de una costa es un ejercicio relativamente complicado. Usando una ecuación empírica desarrollada por Lewis Fry Richardson, Si la costa es relativamente suave y homogénea ‘como la costa de África del sur, la “dimension” de la costa se aproxima a 1.02 mientras que la costa del oeste de Inglaterra, tendría una dimensionalidad de 1.25.  La “dimensionalidad”  es un número mayor que 1 y menor que 2.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension

El conjunto de  Mandelbrot                                          

El conjunto de mandelbrot está formado por los números complejos para los cuales la función no diverge cuando se itera desde z=0….

Este conjunto ha sido explorado de diversas maneras y existe software de bajo costo que hace posible su exploración en cualquier computadora de escritorio.

Los fractales mostrados en este trabajo, fueron generados con el software Fractal Extreme by Cygnus Software.

Newton fractal – Wikipedia (z,z3%20%E2%88%92%202z%20%2B%202.

El atractor de Lorenz, a menudo denominado mariposa de Lorenz, es un objeto matemático que surge de un conjunto de ecuaciones diferenciales conocidas como ecuaciones de Lorenz. Fue estudiado por primera vez por el meteorólogo y matemático estadounidense Edward Lorenz a principios de la década de 1960, mientras investigaba la convección atmosférica, concretamente la predicción del tiempo.
El atractor de Lorenz es un sistema dinámico caótico tridimensional, y sus ecuaciones vienen dadas por:
dx/dt = σ(y – x) dy/dt = ρx – y – xz dz/dt = xy – βz
Aquí, x, y y z representan las variables de estado del sistema, y σ, ρ y β son parámetros. Estas ecuaciones describen el comportamiento de un modelo simplificado de convección atmosférica, en el que x representa la velocidad de convección, y representa la diferencia de temperatura entre las corrientes de aire ascendente y descendente, y z representa la distribución de la temperatura en la atmósfera.
El atractor de Lorenz es famoso por su comportamiento caótico e impredecible, aunque las ecuaciones subyacentes sean deterministas. Cuando se simula o se representa en un espacio tridimensional, tiene una forma característica que recuerda a una mariposa o a un par de alas. Esta forma demuestra la sensibilidad de los sistemas caóticos a las condiciones iniciales, un fenómeno descrito a menudo como el “efecto mariposa”, en el que pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden conducir a resultados drásticamente diferentes con el tiempo.
El atractor de Lorenz tiene aplicaciones que van más allá de la meteorología y la predicción del tiempo. Se ha estudiado en los campos de la teoría del caos, la dinámica no lineal y las matemáticas, y es un ejemplo clásico de sistema caótico con profundas implicaciones para comprender los comportamientos complejos e impredecibles de diversos sistemas naturales y artificiales.

https://itp.uni-frankfurt.de/~gros/Vorlesungen/SO/simulation_example/

La catenaria es la curva que describe una cadena que estando sujeta en sus dos extremos, cuelga libremente. La fuerza de la gravedad, da una forma única que, si se invierte, nos presenta la distribución de fuerzas opuestas a la gravedad.

In 1671, Hooke announced to the Royal Society that he had solved the problem of the optimal shape of an arch, and in 1675 published an encrypted solution as a Latin anagram[16] in an appendix to his Description of Helioscopes,[17] where he wrote that he had found “a true mathematical and mechanical form of all manner of Arches for Building.” He did not publish the solution to this anagram[18] in his lifetime, but in 1705 his executor provided it as ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum, meaning “As hangs a flexible cable so, inverted, stand the touching pieces of an arch.”
Wikipedia 

En 1671, Hooke anunció a la Royal Society que había resuelto el problema de la forma óptima de un arco, y en 1675 publicó una solución cifrada como un anagrama en latín[16] en un apéndice de su Descripción de los Helioscopios,[17] donde escribió que había encontrado “una verdadera forma matemática y mecánica de todo tipo de Arcos para la Construcción.” No publicó la solución a este anagrama[18] en vida, pero en 1705 su albacea la proporcionó como ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum, que significa “Como cuelga un cable flexible así, invertidas, están las piezas que se tocan de un arco.” Wikipedia

Pero,… eso ya lo sabían las termitas, y los arquitectos pronto aprendieron los beneficios de su uso.

Una buena descripción de la matemática la podemos encontrar en Wikipedia

https://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria

El autómata celular (AC) es un modelo computacional discreto que consiste en una rejilla de celdas, cada una de las cuales puede estar en uno de un número finito de estados. Se trata de un concepto sencillo pero potente que se utiliza en diversos campos, como las matemáticas, la informática, la física y la biología. Los autómatas celulares se utilizan para estudiar sistemas complejos y dinámicos, que a menudo muestran un comportamiento emergente a partir de reglas locales sencillas.

Entre las principales características de los autómatas celulares se incluyen

• Rejilla: El AC suele representarse como una cuadrícula bidimensional de celdas, aunque también puede extenderse a dimensiones superiores.
• Estados: Cada celda de la rejilla puede tener uno de un conjunto finito de estados posibles. Estos estados pueden representar diversas propiedades o condiciones del sistema modelado.
• Vecindad: Cada celda tiene una vecindad definida, que consiste en las celdas que la rodean. La vecindad puede definirse de diferentes maneras, como la vecindad de Moore (que incluye las ocho celdas adyacentes) o la vecindad de von Neumann (que incluye sólo las cuatro celdas ortogonalmente adyacentes).
• Pasos temporales: La AC evoluciona a lo largo de pasos temporales discretos. En cada paso temporal, el estado de cada célula se actualiza en función de un conjunto de reglas, que suelen incluir los estados de sus células vecinas.
• Reglas de transición: El comportamiento del autómata celular viene determinado por un conjunto de reglas de transición, que especifican cómo debe cambiar el estado de cada celda en función del estado actual de la celda y de sus vecinas. Estas reglas suelen expresarse mediante lógica booleana o tablas de consulta.
• Configuración inicial: El AC comienza con una configuración inicial, que especifica los estados iniciales de todas las celdas de la red.

Uno de los autómatas celulares más famosos es el Juego de la Vida de Conway, inventado por el matemático John Conway en 1970. En este AC, cada célula puede estar en uno de dos estados, “viva” o “muerta”, y el estado de cada célula evoluciona con el tiempo en función de un conjunto de reglas relacionadas con sus células vecinas. El Juego de la Vida de Conway se ha estudiado ampliamente y ha permitido descubrir diversos patrones y fenómenos interesantes.

Una buena introducción al juego de la vida, la podemos ver en Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Juego_de_la_vida. En la sección de taller, podemos experimentar con el software NetLogo y poder ver de primera mano cómo funcionan estos autómatas.

Los autómatas celulares tienen aplicaciones en diversos campos, como la modelización de sistemas físicos, la simulación de procesos biológicos, la generación de números aleatorios y el estudio del comportamiento emergente en sistemas complejos. También se utilizan en informática para la computación paralela y en criptografía para generar números pseudoaleatorios.